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 COURS FAISCEAU HERTZIEN

Cours Faisceauhertzien

Un faisceauhertzien est un système de transmission de signaux (aujourd'hui principalement numériques)entre deux points fixes. Il utilise comme support les ondes radioélectriques,avec des fréquences porteuses de 1GHz à 40GHz (domaine des micro-ondes), très fortement concentrées à l'aide d'antennes directives.

Ces ondes sontprincipalement sensibles aux masquages (relief, végétation, bâtiments…), auxprécipitations, aux conditions de réfraction de l'atmosphère et présentent unesensibilité assez forte aux phénomènes de réflexion.

Signal transmis

Pour chaqueliaison hertzienne, on définit deux fréquences correspondant aux deux sens detransmission. Pour des raisons de distance et de visibilité, le trajet hertzienentre l'émetteur et le récepteur est souvent découpé en plusieurs tronçons,appelés bonds, reliés par des stations relais.

Le support radioélectriqueutilisé est commun à tout le monde. Les bandes de fréquences représentent donc uneressource rare et leur utilisation est réglementé par des organismes officielsnationaux et internationaux. Dans le cas d'un réseau composé de plusieurs bondsou liaisons proches géographiquement, des problèmes d'interférences peuventapparaître, affectant la qualité des transmissions. La définition d'un bon pland'attribution de fréquences (et de polarisations) doit permettre de minimiserles perturbations tout en optimisant l'utilisation de la ressource spectrale.

Le signal àtransmettre est transposé en fréquence par modulation.L'opération de modulation transforme le signal, à l'origine en bandede base, en signal à bande étroite, dont le spectre se situe à l'intérieurde la bande passante du canal. Les modulations utilisées sont :

  • à 4 ou 16 états (QPSK, 4 QAM, 16QAM…) pour les signaux PDH
  • à 64 ou 128 états (64 QAM, 128 QAM…) pour les signaux SDH

L'augmentation dunombre d'état réduit pour un débit donné la bande passante nécessaire d'un facteur 2.En contre partie, la moins bonne tolérance au bruit des signaux modulés supposeune réduction de la portée effective des liaisons.

Le tableausuivant résume les largeurs de bande nécessaires en fonction des débitsrencontrés dans le hertzien et le type de modulation utilisée :

 

 

 

 

Norme

PDH

PDH

PDH

PDH

SDH

Débit

2x2 Mbit/s

4x2 Mbit/s

8x2 Mbit/s

16x2 Mbit/s

155 Mbit/s

4 états

3,5 Mhz

7 MHz

14 MHz

28 MHz

-

16 états

1,75MHz

3,5 Mhz

7 MHz

14 MHz

-

64 états

-

-

-

-

56MHz

128 états

-

-

-

-

28MHz

Facteurs influençant la propagation

L'une desméthodes de prévision les plus élaborées pour la conception de liaisonshertziennes en vue directe est donnée par la recommandation UIT-RP.530-8, qui permet de prévoir les paramètres de propagation les plusimportants.

Au cours de sapropagation, l’onde hertzienne subit principalement trois typesd’atténuations :

  • Celle correspondant à son rayonnement en espace libre, qui est fixe, et toujours présente (de l'ordre de 140 dB en général), et de plus parfois accentuée par la présence d'obstacles.
  • Celle provenant ensuite des variations aléatoires des conditions climatologiques : guidage, et précipitations (pertes possibles d’une trentaine de dB).
  • Celles des phénomènes d’interférences, conséquences de la réflexion principale, ou de multi-trajets (pertes possibles d’une trentaine de dB).

Propagationen espace libre, dégagement

La stationémettrice rayonne. Les ondesélectromagnétiques véhiculent une énergie par unité de surface quidécroît comme le carré de la distance.

De plus, surl’ensemble du trajet parcouru par l’onde, il est impératif de veiller audégagement de la liaison. Relief, végétation, bâtiment interceptant le faisceauentraînent des pertes dont il faut tenir compte.

L’essentiel del’énergie est concentrée dans la zone que l’on appelle « premierellipsoïde de Fresnel ». L’étendue de cette zone(quelques mètres à plusieurs dizaines de mètres) varie proportionnellement avecla longueur d'onde et la longueur de la liaison. On veille donc au dégagementde ce volume.

Propagation en espace libre

Réfractionatmosphérique

Ce volumetoutefois n’est pas fixe. Comme on le remarque sur le schéma suivant, il fauttenir compte pour la définition de cette zone des conditions de l’atmosphère lelong du trajet de l’onde. En effet, les rayons ne se propagent pas en lignedroite, mais suivent préférentiellement les zones de fort indiceélectromagnétique, soit les couches de l’atmosphère les plus denses.

En fonction desparamètres climatiques, la disposition de ces couches change (on parle de réfraction). Les rayons hertziens sont doncplus ou moins courbés vers la terre (super réfraction), ou au contraire,« pointent » vers le ciel (infra réfraction). Dans ce dernier cas, ledégagement de la liaison est rendu plus difficile.

Il est doncnécessaire de mener des études statistiques pour quantifier la durée au coursde laquelle ces phénomènes pourront nuire à la qualité de la liaison, et avecquelle intensité.

On remarque quepour l’ensemble des calculs, cela revient à donner une courbure moyenne aurayon. Une représentation commode, utilisée dans la figure suivante, est defaire comme si les rayons voyageaient toujours en ligne droite, et de courberen conséquence le profil des liaisons. Cela facilite notamment la descriptionde la géométrie des rayons réfléchis.

On introduit doncun « rayon terrestre apparent », tenant compte de la déformationvirtuelle de la terre vis-à-vis des ondes propagées. Il est déduit du rayonréel par un paramètre, appelé «facteur K», traduisant le gradient vertical decoïndice de réfraction. Sa valeur médiane en Europe est d’environ 4/3.

 

Deux représentations d'un profil radio-électrique: terredroite et faisceau non courbé (rose), terre courbée et faisceau droit (vert)

Dégagement/ diffraction

L’ellipsoïde deFresnel est parfois partiellement obstrué par un obstacle. On distinguehabituellement trois types d’obstacle :

  • lame, pour des obstacles « minces »,
  • rugueux, pour une paire d’obstacles de type « lame »
  • sphérique, pour des obstacles obstruant le faisceau sur une distance importante.

Pour chacun, desméthodes de calcul permettent de prévoir l’atténuation supplémentaire à prendreen compte dans les bilans.

Dans le cas oul’obstacle obstrue sur une portion trop importante le rayon, la liaison peuttoujours être établie, mais cette fois-ci par diffraction (méthode de calculspécifique).

Guidageet précipitations

Certainescaractéristiques du milieu propagateur sont donc « aléatoires ». Pourcelles-ci, on a recours à des statistiques climatologiques (par ex. laconcentration moyenne en vapeur d’eau). Il convient de considérerprincipalement deux phénomènes :

Phénomènesde guidage

Pendant uncertain temps, les conditions atmosphériques peuvent entraîner un guidage dufaisceau, généralement en super réfraction. Le résultat est alors similaire àun dépointage d’antenne. La probabilité d’occurrence, sur le mois quelconque,de ces «évanouissements non sélectifs» est donnée par un paramètre statistiqueappelé facteur PL (de 2% à 30% en France).

Ce phénomène de guidage est dimensionnant dans l'ingénierie desliaisons dont la bande fréquence est inférieure à 15GHz. Il réduira lalongueur possible du bond pour des exigences de disponibilité données.

Atténuationsdues aux hydrométéores

Pour les FH defréquence supérieure à 7GHz, les précipitations entraînent des pertes égalementconsidérables, d’autant plus que le taux de précipitation (en mm/h) et lafréquence sont élevés. L'intensité de pluie varie de 22 à 60mm/h 0,01% del'année moyenne.

Ce phénomène deprécipitation est dimensionnant dans l'ingénierie des liaisons dont la bandefréquence est supérieure à 8GHz. Il réduira la longueur possible du bond pourdes exigences de disponibilité données.

L'onde estpartiellement dispersée sur la polarisation croisée (phénomène detranspolarisation). Atténuation et transpolarisation sont plus marquées pour unsignal en polarisation H.

Réflexion,trajets multiples

Le signal reçuest la somme du signal principal, et de tous les signaux réfléchis (sur le sol,la végétation, et surtout les étendues d’eau). Les interférences générées entretous ces signaux entraînent des sur-champs et des sous-champs parfois extrêmementimportants mais également des distorsions (évanouissements sélectifs).

La réflexionprincipale est le phénomène de multi-trajet dominant. Il existe cependantd’autres cas d’importance.

  • Les réflexions multiples dans une couche de guidage, le conduit atmosphérique jouant un rôle semblable à un guide d’onde : l’onde « rebondit » sur les « bords » du conduit.
  • La scintillation : lors du survol d’une forêt par exemple, une partie de l’onde se propage à travers les arbres, subissant de fortes transpolarisations, et déphasages. Le champ d’interférence résultant est très instable.

Bilan de liaison

Le schémasynoptique typique d'un faisceau hertzien est donné ci-dessous :

Calculdu bilan de liaison

Lescaractéristiques des équipements d'extrémité à prendre en compte pour le calculdu bilan énergétique sont :

Puissanced'émission : C'est la puissance du signal que l'équipement hertzien peutdélivrer. Elle est couramment comprise entre 20 et 30dBm.

Seuils deréception : Définis par rapport à un taux d'erreur binaire donné (TEB=10-3ou 10-6), ils traduisent la capacité pour le récepteur à traiter le signalaffaibli après propagation (vis-à-vis du bruit thermique). Dépendant de la bande defréquence, du débit et du type de modulation, ils sont généralement comprisentre -70 et -95dBm

Pertes debranchement (guide d'onde,connectique…) : Pour les équipements ne présentant pas d'antennesintégrée, il est nécessaire de relier par un câble coaxial ou un guide d'ondel'émetteur/récepteur à l'antenne. Ces déports induisent des pertes linéiques de1 à plusieurs dB, auxquels s'ajoutent les pertes dues aux connecteurs et autreséléments de branchements.

Gain del'antenne : Les antennes, principalement paraboliques, apportent un gainde puissance (de l'ordre de 25 à 45dB) d'autant plus grand que leur diamètreest important. La directivité du faisceau augmente avec la bande de fréquenceet les diamètres de l'antenne.

L'obtention dubilan de liaison repose sur le constat simple : la station distante doitrecevoir un signal tel qu'elle puisse le retranscrire avec un taux d'erreuracceptable, au regard des exigences de qualité de la liaison. Le bilan deliaison, sommation de la puissance émise et de tous les gains et les pertesrencontrés jusqu'au récepteur, doit donc être tel que le niveau de signal reçusoit supérieur au seuil de réception.

 

 

 

Cependant, si lescaractéristiques d'émission/réception du FH jusqu'à l'antenne peuvent êtreconnus avec précision, il est en revanche impossible de connaître à toutinstant les caractéristiques du milieu traversée par les ondes.

Définitiondes marges

Les critères deperformance d'une liaison définissent les pourcentages de temps alloués aucours desquels le signal doit être reçu avec une qualité et une disponibilitésuffisantes. Etant donné les conditions fluctuantes de propagation qui peuventdégrader voire interrompre occasionnellement la liaison, on définit enréception les marges de fonctionnement permettant de remplir ces critères.

La marge auseuil : Pour compenser la majorité des pertes occasionnelles de puissance(évanouissements non sélectifs) que subit le signal, la réception se fait avecune marge appelée marge uniforme ou marge au seuil. C’est la puissance que l’onpourra perdre par dégradation des conditions de propagation sans perdre pourautant la qualité de la liaison.

La margesélective : Comme on l'a vu, le signal ne subit pas qu’un affaiblissementau cours de la propagation. Il subit également des distorsions. Ceci compliqueencore la tâche de réception. Pour traduire la capacité d’un équipement àtraduire correctement un signal entaché de distorsion, on introduit une margedite sélective, qui découle de la caractéristique de signature du récepteur.

La présence d’unperturbateur (par exemple une autre liaison émettant sur une fréquence tropproche) peut également amener une dégradation du seuil effectif du récepteur,et réduit par conséquent ces marges.

Dispositifs de contre-mesure

Des dispositifspermettent d'améliorer la disponibilité et la qualité des liaisons, aussi bienvis-à-vis des aléas de propagation que de la fiabilité des équipements. Il estpar exemple possible de doubler la liaison mais il existe des moyens moinslourds et moins coûteux.

Protection Hot stand-by

Il est possibled'opter pour une configuration d'équipement dite de « veille active »(Hot-stand-by), afin de pallier les éventuelles défaillances de matériels. Onpeut également ajouter une "diversité" : il s'agit d'un deuxièmecanal distinct à la liaison.

À l’émission, encas de défaillance de l’émetteur, on bascule automatiquement sur un deuxièmeémetteur, de secours. Celui-ci est donc inactif la majeure partie du temps.

En réception, lesdeux récepteurs reçoivent. L’équipement choisit automatiquement la voie parlaquelle le signal est le meilleur. En cas de panne, l’un des deux cheminsreste toujours disponible, et permet le dépannage sans interruption de laliaison.

Diversitéd'espace et de fréquence

En introduisantune diversité on peut tirer parti des phénomènes d’interférence évoqués plustôt.

Diversitéd'espace : Un des principaux problèmes déjà mentionné concerne la présenced’un rayon réfléchi en plus du rayon direct qui entraîne la formationd’interférences dans le plan vertical des antennes de réception. La puissancemesurable présente donc des pics de sur-champ et des creux de sous-champsuivant un axe vertical. L’idée est de placer une deuxième antenne de réceptiondistante de la première d’une demi frange d’interférence, ou d’un multiple impairde celles-ci, de manière à ce que les champs principal et de diversité soientcorrélés en opposition. Le champ combiné permet ainsi de s’affranchir trèslargement des instabilités du champ dues aux réflexions ou aux trajetsmultiples.

 

Champsreçus sur chaque antenne séparément suivant les fluctuations atmosphériques(K). Le champ combiné (maximum des deux) est lissé.

Diversité defréquence : l’idée estsemblable à celle de diversité d’espace. Il s’agit également de combiner deuxchamps dont les déphasages sont complémentaires. On exploite cette fois-ci lesdifférences de propriétés de propagation des ondes de fréquences voisines. Onémet ainsi de façon redondante sur un deuxième couple de fréquences,préférentiellement sur une polarisation croisée.

Diversitémixtes et hybrides : il estpossible également de proposer des configurations mêlant les deux types dediversité précédents. On peut ainsi émettre à deux fréquences différentes surles deux antennes de diversité d’espace (on parle alors de diversitéquadruple). Il est également possible de placer une seule antenne croisée d’uncôté, et de profiter de la diversité d’espace en réception de façondissymétrique (diversité triple).

Gainsur les bilan

Selon lesliaisons envisagées, ces techniques permettent de maintenir une puissance reçuestable à quelques dB alors qu’en leur absence, les évanouissements de champpourraient atteindre jusqu’à –40 dB.

  • Les gains obtenus par ces méthodes se mesurent en termes de disponibilité accrue, bien que les marges uniforme et sélective restent identiques.
  • Elles ne présentent de véritable intérêt que pour les situations où les réflexions sont prédominantes (liaison à fort survol d’étendues très réfléchissantes : eau, plaines désertiques) et la probabilité d’occurrence de trajets multiples élevée (liaisons longues ou dans des zones à fort facteur PL).

Choixde la diversité

La diversité defréquence présente l’avantage de ne nécessiter qu’une seule antenne. Les effortssur les structures portantes sont donc moindres ; leur taille peutégalement être moindre. En revanche, une fois données les hauteurs d’antenne,l’écart optimal en fréquence est fixe. Cette exigence n’est pas toujourscompatible avec les plans de fréquence imposés par ailleurs. Elle présenteégalement un rendement spectral faible

La diversitéd’espace nécessite deux antennes (y a-t-il la place sur le pylône correspondantà l'espacement voulu ?) mais leur taille est souvent moindre. Parailleurs, la méthode présente l’avantage d’une beaucoup plus grande souplesse,et de performances généralement supérieures. Elle est de plus économe enfréquences, ressource ô combien rare.

 

 

 

 

 

 

 

                 Carte X25 PCI serveur


Les cartes Eiconcard sont descartes X25 PCI. Elles sont disponibles en différents formats et sont conçuespour répondre à des besoins spécifiques dans les domaines des échangesbancaires, d'assurances, de systèmes de réservation aérien, d'échange dedonnées militaires, d'accés à des reseaux ou Host...

  • Les cartes X25 Eicon C Series sont des cartes actives d'entrée de gamme supportant des vitesses de ligne atteignant 64 Kbps et disposant d'une mémoire de 512Kb. 
  • Les cartes X25 Eicon S Series sont conçues pour des débits plus importants, supportent des vitesses de ligne pouvant atteindre 2.0 Mbps, disposent de 2MB de RAM et existent aux formats PCI 2.2 et PCI Express.

Cliquer sur l'image pour l'agrandir

 

 

                                    

 Carte modem RTC PCI


Les cartesde communication Diva Server disposent d’interfaces RJ-11 standard pour seconnecter à des systèmes de commutation publics et privés via des faisceaux delignes analogiques.

Depuissants processeurs DSP (Digital Signal Processors), dédiés à chaque canal decommunication, garantissent un traitement de la voix en temps réel tout enréduisant les temps de latence et en améliorant la performance globale dusystème. Les Diva Server V-Analog permet donc de mettre en œuvre aussi bien dessolutions de téléphonie informatique IP ou standard, que des applicationsvocales, telles que les portails vocaux ou les centres de contact basés sur lareconnaissance vocale.

                   La boucle Locale Cuivre


La bouclelocale cuivre est la dernière liaison entre le réseau de l'opérateur et laprise de l'abonné. Classiquement, cette boucle locale était utilisée pour latéléphonie (RTC), les services data ISDN bas débit, et plus récemment grâce auxtechniques de modulation xDSL cette dernière supporte des services haut débit.

La bouclelocale cuivre est communément utilisée avec deux techniques de technologies:L'ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line) qui utilise des techniques demodulation sur la bande des 25KHz-2.2MHz et le SHDSL (Symmetric High-SpeedDigital Subscriber Line) qui utilise une technique de modulation TCPAM sur labande de 0KHz-400KHz.


Cette famille traite des produits SHDSL NOKIA sur un réseau bande étroite SDH(Synchronuous Digital Hierarchy) ou PDH (Plesiochronuous Digital Hierarchy).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 


 

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Sagem Link


Netlogon distribue les solutions RADIO Sagem Link suivantes:

 

SAGEM LINK F : Faisceaux hertziens numériques

Le Sagem Link F offre encore plus de flexibilité, une puissance de sortie plus importante et couvre les bandes de fréquence de 7 à 38 GHz. Sur le Sagem Link F le procédé de modulation 16 QAM ou QPSK peut être sélectionné par logiciel. Cela permet, dans le cas du 16 QAM, de réduire d’un facteur 2 la bande de fréquence occupée.


Caractéristiques du Sagem Link F

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  • IDU et ODU compacts et légers
  • Modulation 16 QAM et QPSK associée à un égaliseur et un code correcteur d’erreurs très efficaces
  • Débit configurable de 2 à 16x2 Mb/s par logiciel
  • Interface 10/100 base T en option
  • Interface de gestion SNMP
  • Gestion centralisée par IONOS NMS

 

SAGEM LINK A : Faisceau hertzien haut débit NOUVEAU !

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  • Configuration 1+0, 2+0, 1+1, et Est-Ouest (anneau)
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  • XPIC et RAPE int égré
  • Interfaces SDH, SONET, IP et ATM
  • Interface de gestion SNMP
  • Gestion centralis ée par IONOS NMS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Espace réciproque

En mécanique(physique),on utilise des espaces abstraits pour caractériser les phénomènes, ce sont des espacesdes phases.

Dans le cas des ondes, l'espace desphases est l'espace des vecteursd'onde. Une onde plane et monochromatique est entièrement caractérisée parson vecteur d'onde. Or, la diffusion Rayleigh transforme une onde planemonochromatique en une somme d'ondes planes monochromatiques ; l'amplitudediffusée selon un vecteur d'onde donné est le produit de l'amplitude incidente ψ0par une fonction du vecteur d'onde  :

F correspond à la transformée deFourier 3D de l'objet diffractant l'onde (voir théoriede la diffraction sur un cristal).

Si les opérationssur les vecteurs d'onde n'ont pas de traduction simple dans l'espace réel(c'est une représentation dans l'espace des fréquences spatiales), ce qui vaêtre intéressant, c'est la manière dont les propriétés de l'espace réel, etnotamment les endroits où l'onde est diffusée, sont transposées dans cet espacedes phases. L'espace des phases a alors une correspondance avec l'espace réel,on parle d'espace réciproque.

L'espaceréciproque correspond à une représentation ondulatoire des objets(fréquentielle), duale de leur représentation corpusculaire (spatiale). Lecélèbre principed'incertitude de Heisenberg est l'expression physique du lien entreles deux représentations.

Un pointremarquable est qu'un objet de type réseau cristallin est également un réseaudu point de vue ondulatoire. On parle alors de réseau réciproque.L'espace réciproque est ainsi fréquemment utilisé en cristallographie et en physique du solide.Toutefois, pour en expliquer les concepts, nous allons présenter sonapplication à des problèmes de diffraction en optique.

Le vecteur d'onde

La phase d'une onde varie en fonction du tempset de l'endroit considéré.

Pour simplifier,on prend φ0 nul à l'origine O du repère. Le terme spatial s'exprime sous laforme d'un produit scalaire :

où est le vecteurreliant l'origine O (φ = 0) au point considéré. La norme de est 2π/λ (enrad·m-1), λ étant la longueur d'onde[1].

La « raisond'exister » du vecteur d'onde est le produit scalaire. Si l'on note la fonction :

on voit que cettefonction est une forme linéaire ;l'ensemble de ces formes linéaires est un espace vectoriel isomorphe à l'espace des phases. De fait,l'espace des phases est un espace dual.

Physiquement, levecteur d'onde correspond à une description ondulatoire d'un objet (onde planemonochromatique) alors que le vecteur position correspond à une descriptioncorpusculaire. Selon le principed'incertitude de Heisenberg, les deux descriptions sont intimementliées et un objet réel ne peux qu'être approximativement décrit par l'une oul'autre puisqu'il n'est ni monochromatique ni parfaitement localisé. Seule la fonction d'onde décrit complètementl'objet, et ce quelle que soit la base utilisée (fréquentielle ou spatiale).

Diffusion Rayleigh et principe de Huygens d'uneonde

L'espaceréciproque n'est utile que lorsque l'on considère une onde monochromatique. Cette onde est représentéepar un vecteur unique.

Lorsque cetteonde interagit avec une particule,elle peut être diffusée de manière élastique, par diffusion Rayleigh.De manière générale, pour une onde plane, onpeut considérer en tout point une diffusion isotrope selon le principe de Huygens.

Les vecteursdiffusés ont la même norme que mais une direction différente ; dansl'espace réciproque, leur extrémité forme une sphère de rayon . On ne s'intéresse qu'àune direction de diffusion à la fois, donc à un seul vecteur .

Considérons uncentre de diffusion situé en . Le déphasage spatial par rapport à l'origine est

.

Si l'ons'intéresse au déphasage de l'onde diffusée en un point , le déphasage spatialentre la source et le point vaut

puisque l'onde aparcouru un chemin . Le déphasage total en vaut donc

si l'on pose

on obtient

on a donc unterme qui ne dépend que de la position du centre de diffusion, et un autreterme qui ne dépend que du point final considéré, ce qui simplifie les calculs.

Le vecteur estappelé vecteur de diffraction.

Comme l'extrémitédes vecteurs est sur la sphère de centre O et de rayon k, l'extrémité desvecteurs est sur la sphère dont le centre est la translation de l'origine par ,et de rayon k.

Conventions denotation pour l'article [modifier]

Dans les exemplessuivants, nous considérons que l'espace est muni d'une baseorthonormée directe , ces vecteurs définissant respectivement lesaxes x, y et z.

Le plan contenantles fentes d'Young, le réseau ou les lames de verre est le plan (y,z) ;l'axe des x est normal à ce plan.

Les composantesdu vecteur sont notées Kx, Ky et Kz.

Exemple des fentes de Young

Le problème des fentes de Young peut se traiter avec ceformalisme si l'on considère que l'onde incidente est plane et que l'écran est à l'infini.

L'onde incidentea pour équation :

Si

  • les fentes ont pour coordonnées S1(0,d) et S2(0,0) (on place l'origine à la fente du bas),
  • le vecteur d'onde incident a pour composantes

alors en , l'ondediffusée par la fente S2 vaut

et celle diffuséepar S1 vaut

où est le vecteur(0,d). L'interférence des deux ondes diffusées donne :

L'amplitude del'onde dépend du facteur de droite, donc du produit scalaire . Si on considèreune diffusion d'un angle par rapport à l'incidence, on a :

donc

on remarque icique la pointe du vecteur décrit un demi-cercle centré en (-k, 0) et de rayon k(demi-cercle car ).

Transposition dans l'espace réciproque du problème desfentes de Young pour λ/d = 0,2 ; les points représentent les conditions dediffraction

Réseau réciproque des fentes de Young

D'aprèsl'équation qui précède, on a :

L'amplitude del'onde est maximale lorsque le produit scalaire est un multiple de 2π. Comme k= 2π/λ, on retrouve bien que

Par ailleurs, ona :

et donc

La condition dediffraction devient alors

donc pour lesconditions d'intensité maximale, Ky ne dépend que de n et pas de λ.

Les conditionssur peuvent donc se représenter de manière graphique dans l'espace desphases : l'extrémité du vecteur de diffraction se situe aux pointsd'intersection du demi-cercle de centre

(-k = -2π/λ , 0)et de rayon k = 2π/λ avec les droites horizontales d'équation Ky = 2πn/d.

On voit donc quele système des fentes de Young d'écartement d, éclairées par onde incidente delongueur d'onde λ, peut se représenter par un ensemble de points (K1, K2...,Kn), définissant l'extrémité des vecteurs pour lesquels l'intensité estmaximale.

Utilisation du réseau réciproque pour une incidenceoblique

La constructiondu réseau réciproque prend en compte uniquement le vecteur de diffraction ,mais pas le vecteur d'onde incident  ; ainsi, si l'onde incidente étaitoblique, il suffirait de faire changer le centre du demi-cercle (qui se trouvetoujours à la position par rapport à l'origine) ; l'intersection de cedemi-cercle avec le réseau réciproque donnerait toujours les conditions dediffraction, c'est-à-dire permettrait de déduire les vecteurs pour lesquels ona un maximum d'intensité.

On peut mêmes'afranchir de l'invariance par translation et travailler en trois dimensions,en considérant des rayons (incidents ou diffractés) hors du plan . Le vecteur pouvantprendre toutes les orientations, il décrit une demi-sphère, il en est de mêmepour le vecteur . L'équation Ky = 2πn/d est alors l'équation d'un plan ;les conditions de diffraction sont donc l'intersection de la demi-sphèrecorrespondant au vecteur d'onde incident avec ces plans de l'espace récirpoque.Ce sont donc des demi-cercles.

Ce réseau deplans horizontaux est le réseau réciproque des fentes de Young. On remarqueque :

·        lesplans du réseau réciproque sont perpendiculaires au vecteur de translation entreles fentes ;

·        l'espacementdes droites est inversement proportionnel à l'espacement des fentes.

Exemple du réseau de diffraction

Réseau en réflexion

Considérons un réseau dediffraction optique de pas p.

Pour le calcul, on définit la fonction de l'ondediffractée par le j e trait par

si p est le pasdu réseau et l'axe des x. La fonction d'onde totale est donc

soit


Les conditions de diffraction sont similaires à celles des fentes de Young,seule change la largeur des raies. Le réseau réciproque est donc le même.Toutefois, on travaille fréquemment en réflexion. Dans ce cas-là, c'est ledemi-cercle complémentaire qu'il faut envisager.

Exemple desinterférences par une lame d'air [modifier]

Interférence parune lame d'air : perspective cavalière dans l'espace réel, vue de profildans l'espace réciproque

Les interférencespar une lame d'air sont créées par la réflexion selon deux plansparallèles séparées d'une distance d. On regarde les interférences « àl'infini ».

Soit le vecteurnormal aux plans et de longueur d. Considérons, pour simplifier, que les deuxplans sont parallèles au plan (y,z), et prenons deux rayons parallèlesincidents de vecteur d'onde frappant les plans à des points situés sur le mêmeaxe (le déphasage est indépendant de la position sur le plan mais ne dépend quede la direction de diffusion). Si est l'axe des x, on a .

Le rayon frappantle plan superficiel est directement diffusé. Le rayon frappant le plan profondest diffusé après avoir subi un déphasage Δφ1

Considérons unvecteur d'onde diffusé . Sur un front d'ondedonné (plan perpendiculaire aux vecteurs d'onde), le rayon diffusé par le planprofond subit encore un déphasage Δφ2

Le déphasagetotal est donc

L'interférenceest constructrice si

c'est-à-dire si

donc

si Kx est lacomposante de selon l'axe des x. On voit donc que les conditionsd'interférences constructrices sont représentées, dans l'espace des phases, pardes plans parallèles à (y,z) et espacés de 2π/d.

Comme précédemment,pour un vecteur incident donné, les conditions de diffraction sont données parl'intersection entre ces plans de l'espace réciproque et la sphère décrite parl'extrémité de . Ces intersections sont des cercles ; si l'extrémité de décritun cercle, celle de également, donc les rayons diffusés en conditionsd'interférences constructrices donnent des cônes d'axe normal aux plans.

 

Note

Contrairement auxcas précédents, il n'y a plus ici d'invariance par translation selon l'axe desz, il faut donc se placer en trois dimensions.

 

On peutconsidérer un nombre « infini » de plan parallèles, et donc une sortede réseau de plans. La différence serait alors la même qu'entre les fentes deYoung et le réseau plan : les positions de diffraction sont les mêmes,seule change la largeur des raies.

Dans le cas oùl'on considère une direction de diffusion symétrique à la directiond'incidence, et si l'on note θ l'angle entre le rayon incident et le plan, on a

( est normal auxplans) et l'on retrouve la loi habituelle

2dsinθ = nλ

Association de réseaux

Associationde deux réseaux sur un même plan

Il est possibled'associer les réseaux deux par deux ; les rayons doivent alors vérifierles deux conditions de diffraction, ce qui revient à prendre l'intersectiondes réseaux réciproques.

Diffraction par deux réseaux croisés : le réseauréciproque est une forêt de droites (en rouge)

Prenons parexemple deux réseaux plans d'orientation différente, c'est-à-dire unquadrillage du plan . Les réseaux réciproques sont des plans perpendiculairesaux vecteurs de translation des réseaux. L'intersection entre deux plans nonparallèles est une droite ; le réseau réciproque de ce quadrillage estdonc une « forêt » de droites parallèles à .

Pour un vecteur donné,les directions dans lesquelles se trouvent taches de diffraction sont déterminéespar l'intersection entre la demi-sphère des et cette forêt de droites.

Appelons R1 lepremier réseau ; le vecteur de translation entre deux traits, normal auxtraits, est noté , le vecteur directeur unitaire des traits est noté et leréseau réciproque de plans est noté R*1. Le second réseau est noté R2, sonvecteur de translation est , son vecteur directeur unitaire est est et leréseau réciproque est R*2. On note  ; le signe est choisi en fonction del'orientation de et de afin que le trièdre soit direct ; on note que cettefamille forme une base.

Les plans de R*1sont perpendiculaires à et sont espacés de 2π/||x'1||, ceux de R*2 sontperpendiculaires à et sont espacés de 2π/||x'1||. Si l'on définit une nouvellebase

(l'inversion desindices est purement conventionnelle et est expliquée ci-après), alors danscette base, les plans de R*2 ont pour équation

Kx = a, a étantun nombre entier

les plans de R*1ont pour équation

Ky = b, b étantun nombre entier

et donc lesdroites représentant les conditions de diffraction ont pour équation

Dans la pratique,on se réfère plutôt aux vecteurs directeurs des traits des réseaux, et ondéfinit

le vecteur n'apas d'utilité pratique ici mais permet de définir de manière systèmatique unenouvelle base. L'inversion des indices est justifiée ici par une constructionsystématique de vecteurs de la base (permutation circulaire des indices).

Maintenant,considérons que joint deux intersections de R1 et de R2, idem pour . Soit V levolume du parallélépipèdeformé par , et . On a :

on a alors

Cette base estappelée base réciproque. Elle est caractéristique des réseaux.

 

 

 

 

 

Réseauxsur des plans parallèles

La superposition de réseaux plans est équivalente à unréseau de fils à trois dimensions, ou encore à un réseau de points.

On peut aussiprendre des plans parallèles pourtant toutes un réseau identique, par exempledes plaques transparentes avec un réseau de traits réfléchissants (argenté). Onchoisit de prendre les plans parallèles à , et les traites du réseauperpendiculaires à .

Le réseau réciproquede ce montage est alors l'intersection entre les plans de l'espace réciproque,perpendiculaires à , générés par la succession de plans réfléchissants, et lesplans réciproques du réseau plan, perpendiculaires à . Le réseau réciproque dece montage est donc une série de droites parallèles à .

On peut enfinenvisager une succession de plans parallèles portant tous un quadrillageidentique. Le réseau réciproque est l'intersection de trois réseaux deplans ; c'est donc un réseau de points. On voit que l'on obtient le mêmeréseau de points dans l'espace réciproque pour plusieurs configurations dansl'espace réel, à partir du moment où les intersections des traits se trouventau même endroit. Ce qui définit les directions dans lesquelles l'intensité estnon nulle, ce sont les vecteurs , et définissantla maille élémentaire.

On peut définircomme précédemment les vecteurs , et de l'espace réciproque

où (i, j, k) est une permutationcirculaire de (1, 2, 3). Les vecteurs de diffraction pour lesquelsil y a diffraction vérifient

où a, b et c sont des entiers. Le réseau réciproque estdonc un réseau de points, les vecteurs , et définissant une maille élémentairede ce réseau réciproque.

Baseréelle et base réciproque

D'après lespropriétés du produit vectoriel,on a :

, soit et

, soit et

, soit et

Par ailleurs, si(i, j, k) est une permutation circulaire de (1, 2, 3), on a :

[2]

Indexation du réseau réciproque et plans del'espace réel

Dans le cas d'unréseau de diffraction 3d (réseau de points dans l'espace), le réseau réciproqueest également un réseau 3d. Chaque point du réseau réciproque ayant descoordonnées entières dans la base , on peut indexer chaque point par sescoordonnées.

À chaque point duréseau réciproque est donc associé trois indices, notés habituellement (h, k,l), qui sont ses coordonnées.

 

Note

Jusqu'ici, les coordonnéesentières étaient notées (a, b, c) afin d'éviter la confusion entre le vecteurd'onde et l'indice réel k.

 

Nous avons vu que dans l'espace réel, ce qui importait,c'était le réseau de points, et que ces points pouvaient être les nœuds dequadrillages parallèles entre eux.

Prenons un point A(h, k, l) de l'espace des phases. Ladroite (O,A), passant par l'origine et par A, peut être vue comme l'image d'unréseau plan (cf. section Association de deux réseaux sur un mêmeplan) ; ce réseau plan est porté par une famille P de plansparallèles.

Cette famille de plans de l'espace réel a pour image unefamillede plans de l'espace réciproque (cf. section Exemple des interférences par une lamed'air). On peut donc dire que A représente une famille de plans parallèleséquidistants ; plus A est éloigné de l'origine, plus les plans sontrapprochés.

Il est ainsi possible d'indexer les plan imaginairescontenant des nœuds du réseau réel : les plans associés à A portent lesindices (h, k, l).

On peut montrer que ces indices sont les Indices de Miller (voir cet article pour ladémonstration).

Utilisation en cristallographie

Uncristal est un réseau tridimensionnel d'atomes, d'ions ou de molécules. Chaquenuage électronique va provoquer de la diffusion Rayleigh,qui va être équivalent à la réflexion et à la transmisison des réseaux detrait. Le cristal est donc en quelques sortes un réseau qui fonctionne enréflexion et en transmission.

Le lieu desextrémités des vecteurs de diffraction est donc une sphère complète, et non unedemie sphère.

 

Notes

danscertains cas, la phase, en radians, est écrite , la norme du vecteur d'onde estalors 1/λ, c'est le nombre d'onde ;le coefficient 2π ne change strictement rien au fond

si lecoefficient 2π ne fait pas partie de la définition du vecteur d'onde, on aalors

Fentes de Young

Simulation des interférences obtenues après les fentesd'Young : les deux points en bas de l'image sont les sources de lumière.

Les fentes de Young sont l'objet d'une expérience de physique réalisée en 1801par Thomas Young qui consiste à diriger de lalumière sur deux petit trous (ou fentes). La lumière est ensuite récupérée surun écran. On y observe un motif de diffraction et d'interférences, c'est-à-dire que certainsendroits sur l'écran sont totalement sombres, et d'autres sont très lumineux.

Cette expérience permet alors de mettre en évidence lanature ondulatoirede la lumière. Elle a été également réalisée avec de la matière, comme les électrons, neutrons, atomes,molécules, avec lesquels ont observe aussides interférences. Cela illustre la dualitéonde-particule : les interférences montrent que la matièreprésente un comportement ondulatoire, mais la façon dont ils sont détectés(impact sur un écran) montre leur comportement particulière.

Des expérience similaires aux fentes de Young impliquantdes électrons ont été réalisées. En 1961, Claus Jönsson àTübingen produisait des interférences avecun fil d'araignée métallisé séparant un faisceau d'électrons en deux. En 1989, Tonomura et al. ontenvoyé un électron sur un biprisme à électrons. Ils ont observé la figured'interférence prédite par la théorie.

Interprétation classique du phénomène

Schéma de principe des fentes de Young.

Illustration de l'apparition de franges d'interférences.

Dans l'expérience de Young, on utilise une sourcelumineuse S monochromatique[1] et on interpose uneplaque percée de 2 fentes. Celles-ci se comportent comme des sourcessecondaires S1 et S2. On observe alors, sur un écran placé derrière, desfranges alternativement sombres et claires : les ondes issues de S1 et S2 interfèrent entre elles.

Considéronsmaintenant un point M situé sur l'écran. Il est éclairé par les ondeslumineuses émises par S1 et S2 qui peuvent s'écrire respectivement, au pointM :

et

,

où E0 est l'amplitude[2], ω la pulsation des ondes, Δφ leur déphasage et t le temps.

Δφ caractérise le fait qu'une onde a un certain retard parrapport à l'autre. En effet, pour arriver au point M, le chemin à parcourirn'est pas de la même longueur pour la lumière qui provient d'une source ou del'autre.

Si Δφ est un multiple de 2π, les ondes s'ajoutent et onobtient une frange lumineuse sur l'écran, ce que l'on appelle une interférence constructive.En revanche si Δφ est un multiple impair de π alors les ondes s'annulent et onobtient une frange sombre sur l'écran, c'est alors une interférencedestructive. Cela explique pourquoi on observe, sur l'écran, des frangessuccessivement claires et sombres. Mais il n'y a pas, à priori, de formulesimple permettant de décrire ces franges. Pour simplifier le problème, il estpossible de supposer que l'écran est placé loin des fentes.

Casd'un écran éloigné

Supposer quel'écran est éloigné des fentes revient, plus précisément, à poser que ladistance D entre l'écran et les fentes est grande devant la distance d entreles fentes (c'est-à-dire ).

Cetteapproximation est utile dans le calcul de Δφ. En effet, les distances de M à S1et de M à S2, notées respectivement r1 et r2, vérifient alors :

où x est ladistance de M au centre de l'écran.

Cette différencede trajet, souvent appelée différence de marche, correspond à un déphasageentre les deux rayons :

.

On peut alorsmontrer que l'intensité reçue au niveau de l'écran est proportionnelle à :

L'intensité estdonc répartie de manière périodique : les franges sont séparées d'unedistance Dλ / d. Cela correspond, pour une lumière visible, avec des fentesséparées d'un millimètre, à des franges séparées d'un millimètre sur un écranplacé à deux mètres.

Casd'un écran à l'infini

Relations géométriques dans le cas d'un écran à l'infini

Pour pousserl'approximation à sa limite, on peut étudier le cas où les rayons interfèrent àl'infini, c'est-à-dire lorsqu'ils sont parallèles entre eux. Dans la pratique,cela s'obtient en plaçant l'écran à plusieurs mètres des fentes, ou bien enplaçant l'écran au foyer image d'une lentilleconvergente.

Dans ce cas, onmontre rapidement (voir la figure ci-contre) que la différence de marche entredeux rayons interférant entre eux vaut :

.

Le mêmeraisonnement que la dans la partie précédente donne un angle entre les frangesvalant λ / d.

Ces résultatsaboutissent aux observations suivantes :

·        Plus lesfentes sont éloignées l'une de l'autre, plus les franges sont rapprochées.

·        Plus l'écranest éloigné, plus les franges sont espacées.

Rôlede la diffraction

Figure observée.

Les calculsprécédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or onobserve (voir figure ci-contre) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloignedu centre de l'écran. Deux phénomènes sont à l'origine de cette observation.

Premièrement, lesfentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction. En effet, une lumière envoyéesur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope (on observe une tache d'Airy). Cela se traduit par le faitque la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercutesur la figure observée après les fentes d'Young : l'intensité des frangesdécroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre. Pour en tenir compte,il faut rajouter le facteur suivant à l'intensité reçue par l'écran :

où sinc est lafonction sinus cardinalet l est la largeur de chaque fente.

 

Simulation d'un profil d'intensité avec une longueurd'onde λ = 630 nm (rouge), une distance entre les fentes d =0,5 µm, une distance fente-écran D = 1 m et une largeur de fente de0,05 µm ; A = 1,26 m

Le second phénomène à prendre en compte est le fait queles ondes émises en S1 et S2 sont des ondes spériques, c'est-à-dire que leuramplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent. Ainsi l'amplitude de E1et de E2 ne sera pas la même au point M. Cela donne un nouveau facteur àrajouter à l'intensité :

On a donc au final

.

Interprétation quantique du phénomène

Densité de probabilité d'un électron au passage des deuxfentes

L'expérience originelle de Thomas Young pouvait êtreinterprétée de manière « classique » (voir ci-dessus), en utilisantles simples lois de Fresnel, et mettait en évidence le caractère ondulatoire dela lumière.

L'expérience de Young a par la suite été raffinée,notamment faisant en sorte que la source S émette un quantum à la fois. Parexemple, on peut à l'heure actuelle émettre des photons ou des électrons un parun. Ceux-ci sont détectés un par un sur l'écran placé après les fentesd'Young : on observe alors que ces impacts forment petit à petit la figured'interférences. Selon des lois classiques concernant les trajectoires de cescorpuscules, il est impossible d'interpréter ce phénomène.

L'interprétation quantique du phénomène est lasuivante : le quantum émis prend un état superposé lors du franchissementde la plaque : |quantum passe par S1> + |quantum passe par S2> (voirNotation bra-ket). De la fonction d'onde résultante, on peutdéterminer pour chaque point de la plaque la probabilité que le quantum y soitdétecté. On peut démontrer que la distribution des probabilités suit la figured'interférence. Autrement dit, le quantum passerait par les deux fentes à lafois, et interfèrerait avec lui-même.

La figure ci-contre montre l'évolution de la fonctiond'onde d'un électron au passage des deux fentes. Les niveaux de grisreprésentent la densité deprobabilité de présence de l'électron. La taille réelle del'électron est en fait bien plus petite que sa zone de probabilité de présence(en forme de cercle) initiale. On voit nettement que l'électron "interfèreavec lui-même": les franges d'interférences sont bien visibles au sortirdes deux fentes (l'électron possède aussi une certaine probabilité de"rebondir" et de former également une figure d'interférence versl'arrière).

Destructionde la figure d'interférence. Problème de la mesure

L'interprétation quantique de l'expérience repose sur lefait qu'un photon individuel se retrouve dans un état superposé suite aufranchissement des fentes. On peut interpréter ce fait en disant que le photonest passé par les deux fentes en même temps. Mais que se passe-t-il si, insatisfaitpar cette interprétation des choses, on cherche à détecter par quelle fente lephoton "est réellement passé" ?

Le résultat net de l'expérience est qu'on détecte bien quele photon passe soit dans la fente de droite, soit dans la fente de gauche,mais alors la figure d'interférence disparait : le photon n'est plus dansun état superposé suite à la mesure. La détection du photon dans l'une desfentes provoque un "effondrement de la fonction d'onde" et de l'étatsuperposé. Autrement dit, toute tentative de savoir de quel côté le quantum estpassé ne permet plus d'obtenir des interférences.

L'expérience de Young permet donc également de mettre enévidence le problème de la mesure quantique. Ce problème est que les loisquantiques ne prévoient pas directement cet effondrement, et qu'il n'existedonc pas de définition objective et rigoureuse de ce qu'est une"mesure" (voir traitement complet de ce problème dans les articles Chat de Schrödingeret Problèmede la mesure quantique).

A l'heure actuelle, des développements sur le sujetpermettent de réaliser des expériences très similaires sur des objets de plusen plus volumineux, comme les atomes, les molécules, les condensats deBose-Einstein. En particulier, on a observé des interférences avecdes molécules de fullerène. Cesexpériences démontrent que la vision corpusculaire de la matière n'est passatisfaisante avec des objets de plus en plus gros, d'où la question récurrentede la dualitéonde-corpuscule en physique quantique.

Théorie de la diffraction

La théorie de la diffraction, dans sa forme élémentaire,repose sur le principe deHuygens-Fresnel. Selon ce principe, chaque point atteint par une ondese comporte comme une source secondaire. La figure de diffraction observée résulte del'interférence des ondes émises par l'ensemble des sources secondaires. Bienque cette théorie ne fasse pas intervenir la nature de l'onde (sonore,lumineuse...), le vocabulaire et les illustrations de cet article serontempruntés au domaine de l'optique.

Le principe de Huyghens-Fresnel est une approximation dela solution rigoureuse au problème de diffraction donnée par la résolution del'équation d'onde. Il est valable dans le cadre de l'approximationparaxiale : c'est à dire quand la distance entre l'objet et la figure dediffraction est grande devant à la fois la taille de l'objet et la taille de lafigure de diffraction.

Principe de Huygens-Fresnel

Enoncé

Soit une onde monochromatique incidente sur une ouverture.D'après le principe de Huygens-Fresnel, tout élément de surface de l'ouverturepeut être considéré comme une source secondaire, émettant une onde sphérique.L'amplitude de l'onde émise par cette source secondaire est proportionnelle àcelle de l'onde incidente et à l'aire de l'élément de surface. Les ondes émisespar ces différentes sources interférent entre elles pour donner l'ondediffractée.

On trouve parfois une expression corrigée qui tient comptedu fait qu'en toute rigueur la source ponctuelle n'est pas isotrope. Comme elleémet dans une direction privilégiée, on ajoute parfois un « facteurd'obliquité ».

Expressionmathématique

On considère une ouverture (Σ) contenue dans le plan z =0. Soit E(P) = E(X,Y) l'amplitude de l'onde incidente en un point P quelconquede l'ouverture, de coordonnées (X,Y). L'amplitude de l'onde émise par la sourcesecondaire de surface dΣ autour de P est de la forme KE(P)dΣ où K est uneconstante qu'il n'est pas utile de chercher à déterminer ici.

Lorsqu'elle arrive au point d'observation M, decoordonnées (x,y) dans le plan z = r, cette onde a pour amplitude, en notationcomplexe :

Le facteur 1/PMrend compte de l'atténuation de l'onde sphérique émise en P et représente ledéphasage de l'onde entre P et M.

L'amplitudetotale en M s'obtient en sommant les contributions de tous les points del'ouverture, soit :

Facteurde transmission

Les objetsdiffractants ne sont pas forcément des ouvertures laissant passer 100% del'onde au niveau de l'ouverture et rien à côté. Il peut s'agir d'objetsatténuant l'onde de façon différente suivant le point considéré (diapositivepar exemple, pour la lumière) et/ou d'objets introduisant un déphasagedépendant là aussi du point considéré.

Pour prendre encompte ces différentes possibilités, on introduit le facteur de transmission,ou transmission, t(P)=t(X,Y), d'un objet qui est le rapport entre l'amplitudede l'onde juste après l'objet avec celle de l'onde juste avant l'objet.

En notant E0(P)l'amplitude de l'onde juste avant l'objet diffractant, l'amplitude de l'ondediffractée s'écrit alors :

La transmissionétant définie pour tout point P appartenant au plan de l'objet diffractant, lesintégrales sont calculées de -∞ à +∞

Ce formalismesera utilisé pour la diffraction de Fraunhofer.

Exemples:

·        Ouverturecarrée de côté a laissant passer 90% de l'onde.

  • Prisme carré de côté a, d'indice n et d'angle au sommet α (petit).
  • Un rayon lumineux incident à une distance y du sommet du prisme subit un déphasage φ=2πα y(n-1)/λ où λ est la longueur d'onde.
  • En supposant le prisme parfaitement transparent, la transmission s'écrit:

Diffraction de Fresnel

Dans les conditions usuelles d'observation, les tailles de l'ouvertureet du phénomène de diffraction observé sont petites devant la distance rd'observation. On a :

Onpeut donc utiliser un développement limité pour écrire:

En remplaçant PMpar cette expression dans l'exponentielle complexe et 1/PM par 1/r (cetteapproximation est ici suffisante car 1/PM n'est pas une fonction périodique),on obtient alors :

où . Cetteintégrale est appelée transformation deFresnel et permet de déterminer la figure de diffraction observée àdistance finie de l'ouverture diffractante. Ce genre de diffraction peut parexemple s'observer sur les bords de l'ombre géométrique d'un écran, commeillustré ci-dessous.

Courbe donnantl'intensité de la lumière diffractée par un bord d'écran observée à unedistance r=1 mètre. La longueur d'onde est λ=0,5 micromètres. On observe que lalargeur de la première oscillation est de l'ordre de √(λr), les autresoscillations sont plus rapides et moins marquées. L'intensité que l'on auraiten l'absence de diffraction est représentée en rouge.

Diffraction de Fraunhofer

La diffraction deFraunhofer ou diffraction à l'infini est un cas particulier très important oùle plan d'observation est situé loin de l'objet diffractant, celui-ci étantéclairée par une onde plane (source ponctuelle à l'infini) et défini par sonfacteur de transmission t(X,Y).

C'est cephénomène qui fixe la limite ultime de résolution que l'on peut espérer d'uninstrument d'optique.

Expressionde l'onde diffractée

On supposera icique la source est située sur l'axe du système et donc que E(P) est constantdans le plan diffractant.On peut alors écrire:

si quel que soitX correspondant à un point de l'ouverture.

Donc, si d estune dimension caractéristique de l'ouverture (ex: diamètre pour une ouverturecirculaire), on se trouve dans les conditions de la diffraction de Fraunhofersi

d2/λr est parfoisappelé nombre de Fresnel.

Le mêmeraisonnement étant bien entendu valable aussi pour le terme (y-Y)2, l'amplitude de l'ondediffractée dans les conditions de Fraunhofer s'écrit donc :

où le terme dephase constant lors de l'intégration, , et l'amplitude constante E0(P) sontcontenues dans la nouvelle constante K".

On remarque quel'amplitude diffractée est proportionnelle à la transformée deFourier de la transmission t(X,Y). Plus précisément, si on note t latransformée de Fourier de t, E(M) est proportionnel à t(x/λr, y/λr).

Physiquement, onconstate que l'amplitude de l'onde diffractée ne dépend que de la directiond'observation (définie par les angles x/r et y/r), ce qui justifie le nom dediffraction à l'infini.

En pratique,observer à l'infini signifie être assez loin de l'objet diffractant pour que lenombre de Fresnel soit très inférieur à 1 ou, dans le cas de l'optique, seplacer au foyer image d'une lentille. Dans ce dernier cas, la distance r doitêtre remplacée par la distance focale de la lentille, f, dans les formulesprécédentes.

Exemplesde figures de diffraction

Diffraction par une fente

Diffractionpar une ouverture rectangulaire [modifier]

Une ouverturerectangulaire de côtés a et b correspond à une transmission t(X,Y) définiepar :

t(X,Y) = 1 si|X|<a/2 et |Y|<b/2

t(X,Y) = 0 sinon

Le calcul del'intensité diffractée par une telle ouverture, c'est à dire du carré du modulede l'amplitude E(M), donne :

Dans cetteexpression, I0 correspond à l'intensité maximale sur l'écran (au centre) et« sinc » est la fonction sinus cardinal définie parsinc(x)=sin(x)/x.

La figureci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenueavec une ouverture rectangulaire de côtés a=0,1 mm et b=0,3 mm. On a pris λ=0,5μm et on s'est placé au foyer image d'une lentille de distance focale f=1 m.

L'intensité desmaxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendrevisibles.

En l'absence dediffraction, la figure obtenue aurait simplement été un point brillant aucentre de l'écran correspondant à la focalisation par la lentille des rayonsincidents parallèles à l'axe.

On remarque quele côté le plus petit correspond au plus grand étalement de la lumière. Eneffet, les dimensions de la tache centrale sont :

Δx=2λf/a=10 mm

Δy=2λf/b=3,3 mm

Diffractionpar un rideau

C'est uneapplication de l'exemple précédent. Lorsque la lumière se réfléchit sur unobjet par exemple, en regardant à travers un rideau, on peut observer desfigures de diffraction telles celle-ci :

Elle résulte dela diffraction de la lumière par le rideau,dont le tissu constitue tout unensemble d'ouvertures carrées. La mesure de l'angle entre la tache centrale etsa voisine permet d'obtenir le pas du rideau.

Les irisationsdes taches proviennent du fait que chaque longueur d'onde construit sa proprefigure de diffraction, légèrement différente de celle d'une longueur d'ondevoisine. Les endroits où les figures coïncident sont blancs (en particulier latache centrale), les autres sont colorés.

Diffractionpar une ouverture circulaire

Il est ici pluscommode d'utiliser les coordonnéespolaires (R,θ) plutôt que les coordonnées cartésiennes (X,Y). Uneouverture circulaire de diamètre d correspond alors à une transmissiont(R,θ) définie par :

t(R,θ) = 1 si | R| < d / 2,

t(R,θ) = 0 sinon.

Le calcul del'intensité diffractée par une telle ouverture donne :


où et

La répartitiond'intensité présente la même symétrie de révolution que la pupille. La figureobtenue est appelée figure d'Airy. Dans cette expression, I0 correspond àl'intensité maximale sur l'écran (au centre) et J1(η) désigne la fonction de Besseld'ordre 1.

La figureci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenueavec une ouverture circulaire de diamètre d = 0,2 mm. On a prisλ = 0,5 µm et on s'est placé au foyer image d'une lentille dedistance focale f = 1 m.

L'intensité desmaxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendrevisibles.

Le rayon de latache centrale est
Δρ = 1.22λf / d = 3 mm.

En notant lerayon de l’ouverture r = d / 2, on obtient
Δρ = 0.61λf / r = 3 mm.

Résolutiond'un instrument d'optique

Le rôle de laplupart des instruments d'optique (microscope, objectif d'appareil photo,télescope…) est de former des images. Du point de vue de l'optique géométrique,un instrument « parfait », c'est-à-dire exempt d'aberrations, faitcorrespondre à un point objet un point image (voir aussi Stigmatisme).

En réalité, lorsleur cheminement à travers l'instrument, les faisceaux lumineux sontdiaphragmés par les montures des lentilles et donc diffractés. L'image d'unpoint source par un instrument dépourvu d'aberrations n'est donc pas un pointimage mais une tache de diffraction. On peut montrer que la répartitiond'intensité dans le plan de l'image est donnée par les formules de diffractionde Fraunhofer. Les montures des lentilles ou miroirs étant la plupart du tempscirculaires, la figure de diffraction obtenue est une tache d'Airy décrite dansle paragraphe précédent.

Ainsi, deuxpoints objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour êtredistinguées si la distance entre ces images est du même ordre de grandeur quela taille de la tache de diffraction. On appelle résolution l'écart minimalentre deux points objets pour qu'on puisse les distinguer avec l'instrumentd'optique considéré.

Quantitativement,on utilise le critère de Rayleigh selon lequel deux images A' et B'correspondant à deux points A et B sont distinctes si le sommet de la tache dediffraction de l'une correspond au premier minimum nul de l'autre.

Les courbesbleues et noires montrent les intensités correspondant aux taches dediffraction de A' et B'. Les courbes rouges représentent l'intensité totaletelle que perçue par un détecteur. Si A' et B' sont suffisamment éloignés(figure de gauche), les deux images sont nettement séparées. S'ils sont tropproches (figure de droite), on ne distingue qu'une seule tache. Le brouillagedes deux images se produit approximativement lorsque le maximum d'une tache dediffraction correspond au premier minimum de l'autre. C'est le critère deRayleigh.

Prenons le cassimple de la formation d'une image par une lentille mince de diamètre d. Onnote l la distance objet-lentille et l' la distance lentille-image. A' et B'sont séparés si

Comme AB = A'B'l/ l', la condition précédente devient:

En pratique, lerapport l/d est supérieur ou voisin de 1. La résolution est donc au mieux dumême ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière utilisée, entre 0,4et 0,8 micromètres pour la lumière visible. Ce résultat est général.

Ceci explique parexemple pourquoi un microscope optique ne peut pas distinguer des détailsinférieurs à quelques dixièmes de micromètres. Des résolutions bien meilleurespeuvent par exemple être obtenues avec des microscopesélectroniques.
D'autre part, la résolution s'améliore lorsque le diamètre augmente. C'estpourquoi les miroirs des télescopes font jusqu'à plusieurs mètres de diamètre.

Diffraction par une fente

Diffraction par une fente

La diffractionpar une fente est un modèle théorique utilisé pour modéliser les phénomènes de diffraction en optique. La diffraction par une fente peutégalement s'appliquer, en raison du principe de Babinet,pour décrire la figure de diffraction obtenue avec un fil placé sur le trajetd'un rayonlumineux.

Une fente est uneouverture de largeur a et de longueur infinie, centrée sur l'origine (la fentes'étende de -a/2 à a/2 dans l'axe des x). Du fait de la symétrie partranslation du problème, on ne considère les variations d'intensité que sur unseul axe x.

On se place dansle cas où l'écran est situé à l'infini (diffraction deFraunhoffer), c'est-à-dire que les rayons qui arrivent en un point Msont considérés comme parallèles. C'est le cas si l'écran est placé à plusieursmètres de la fente, ou bien si l'on met l'écran dans le plan focal image d'une lentilleconvergente.

Si l'on appelle Dla distance enttre l'écran et la fente, alors l'intensité I en un point x del'écran s'écrit :

ou sinc est lafonction sinus cardinaldéfinie par sinc(x)=sin(x)/x.

L'intensité adonc une pseudo longueur d'onde A valant

Formule de diffraction

Un rayon parcoursune distance δ entre la fente et l'écran. La différence de phase introduite parce chemin est

λ étant la longueur d'onde de la radiation lumineusesupposée monochromatique.

Les rayons quifrappent un point de l'écran sont issus de différents points de la fente. S'ilssont en phase au niveau de la fente, leur déphasage est différent arrivé surl'écran. Ils vont interférer, ilfaut donc calculer le déphasage entre les rayons pour connaître le résultat.

Considérons unpoint x de l'écran, et un point x1 de la fente. L'onde partant de x1 arrive enx en ayant parcouru une distance δ (d'après le théorème dePythagore) :

Si l'écran estsuffisamment loin, on a D >> (x - x1), on peut donc faire un développementlimité du premier ordre :

Si l'on développele terme au carré :

Si l'on se placeà une distance x grande devant x1 (donc devant a), on peut négliger le terme dusecond ordre :

Cetteapproximation correspond aux conditions de diffraction deFraunhoffer.

L'onde incidentea pour fonction

quelque soit x1 (onde plane, on choisit arbitrairement ledéphasage nul dans le plan de la fente). Au point x, l'onde diffusée par lepoint x1 a pour fonction

soit

Au un point xdonné de l'écran, l'onde résultante vaut donc

Le dernier membrevaut

Donc

L'intensitélumineuse est le flux d'énergie,soit le carré de la norme

Applications

La diffractionpar une fente de longueur infinie permet de déterminer :

  • la figure de diffraction par une ouverture rectangulaire : c'est comme si l'on avait deux fentes infinies l'une après l'autre et tournées d'un quart de tour dans leur plan ;
  • dans le cas des deux fentes de Young, le profil dû à une fente se superpose à la figure d'interférence.

Réseau de diffraction optique

Un disque compact agit comme un réseau dediffraction : on observe des irisations colorées.

Un réseau dediffraction est un dispositif optique composé d'unesérie de fentes parallèles (réseau en transmission), ou de rayuresréfléchissantes (réseau en réflexion). Ces traits sont espacés de manièrerégulière, l'espacement est appelé le « pas » du réseau.

Si la distanceentre les traits est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière, le réseaupermet d'obtenir des figures de diffraction :

  • si l'on envoie de la lumière blanche, le réseau décompose la lumière à la manière d'un prisme ; c'est le phénomène qui se produit sur les disques compacts, la lumière est diffractée par les variations qui forment les bits et qui jouent le rôle des traits du réseau ;
  • si l'on envoie une seule longueur d'onde (lumière monochromatique), le réseau réfléchit plusieurs taches ; la direction de réflexion des taches dépend de la distance entre les traits et de la longueur d'onde.

Formules d'optique

Le principe desréseaux de diffraction repose sur une même formule pouvant être démontrée soitpar l'optique géométrique,soit par la théorie électromagnétiquede Maxwell.Il se base sur le principe deHuygens-Fresnel.

Le calcul sur unréseau est très similaire au calcul fait sur les fentes de Young (voir cet article) :la différence demarche entre deux traits (donc le déphasage des rayons diffusés pardeux traits voisins) se calcule de la même manière. La différence est qu'aulieu d'avoir la somme de deux fonctions d'onde, on a la somme d'une série« infinie » (le nombre de traits étant très grand) :

en reprenant lesnotations de l'article Fentes de Young :

  • x est l'abscisse du point sur l'écran de visualisation, sur un axe perpendiculaire aux traits du réseau ;
  • est la l'amplitude de l'onde incidente arrivant sur le trait 0, ω étant la pulsation ;
  • est le déphasage entre deux traits voisins, avec
    • V le pas du réseau ;
    • D la distance entre le réseau et l'écran de visualisation de la figure de diffraction (écran parallèle au plan du réseau).

Si l'on est encondition de diffraction entre deux traits (cas des fentes de Young), on l'estégalement entre tous les traits : le déphasage est partout un multiple de2π. On va donc avoir de maxima d'intensité en

ou bien, sil'écran est « à l'infini » (c'est-à-dire à plusieurs mètre ou bien dansle plan focal image d'une lentille convergente), on considère l'angle dedéviation α donnant un maximum d'intensité :

Largeurdes raies et taille du réseau

La différenceentre un réseau et des fentes de Young est que l'intensité va s'annuler dès quel'on s'écarte des conditions de diffractions. Au lieu d'avoir un pic dont laforme est en cos2, on a un pic très fin : si l'on se place en xk + δx,alors

un trait i seraen opposition de phase avec le trait 0 s'il existe un entier j vérifiant

soit :

Dans le cas desfentes de Young, il n'y a annulation que lorsque λD/2Vδx est entier ; ici,il suffit de prendre j suffisamment grand pour que la fraction devienneentière. En théorie (nombre infini de traits éclairés), l'intensité est doncnulle hors condition de diffraction (l'ensemble des réels est l'adhérencede l'ensemble des rationnels).

Dans la pratique,le réseau a un nombre fini de traits, et seule une portion du réseau estéclairée. Si l'on appelle N le nombre de traits éclairés, alors l'intensités'annule pour la première fois lorsque

si N est impair,ou en

s'il est pair. Lalargeur du pic est donc divisée par N (ou N-1) par rapport aux fentes de Young.

Le cas de ladiffraction à l'infini peut se traiter dans l'espace réciproque.

Formule des réseaux

Une ampoule placée derrière un réseau de diffraction.

Lorsque la lumière frappe un réseau, elle n'est réfléchieou transmise qu'en certains points, les traits du réseau. Chaque trait diffusela lumière dans toutes les directions, et ces ondes interfèrent.

Comme les traits sont disposés de manière régulière, on aune alternance interférence constructive/interférence destructive selon l'anglede diffusion. On peut ainsi calculer, pour une longueur d'onde λ donnée, lesangles r pour lesquels on aura une interférence constructive.

Réseau en réflexion

Soit n1 l'indice du milieu depropagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ). Soit i l'angled'incidence et r l'angle de réflexion pour lequel on a une interférenceconstructrice. Soit a le pas du reseau et m un nombre entier. On a

Réseau en transmission

Soit n1 l'indice du milieu depropagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ), et n2 l'indice dumilieu transparent dans la fente du réseau (on peut avoir n1 = n2 si la fenteest un simple évidement). Soit i l'angle d'incidence et rl'angle de réfraction pour lequel on a une interférence constructrice. Soit ale pas du reseau et m un nombre entier.On a

Dans ces deux formules, les angles sont décris par une valeur algébrique.

Le nombre m se nomme le « mode », ou encore« ordre de diffraction ». Dans chaque cas etudié, le nombre de modesse déduit des équations précedentes en notant que

-1 ≤ sin r ≤ 1

chaque longueur d'onde est donc diffractée dans plusieursdirections. En fait il existe plus de modes mais ceci reste en surface duréseau.

Vocabulaire

Dispersion angulaire

On appelle dispersion angulaire ladérivée

.

Efficacité

Soit Am l'amplitude de l'onderéfléchie à l'ordre m.

L'efficacité ressemble en touspoints au coefficient de reflection d'une onde. On la définit, à l'ordre m,par :

Intervalle spectral libre (ISL)

Il est défini par le rapport

.

Il correspond à l'intervallemaximal de longueur d'onde pour qu'il n'y ait pas recouvrement d'ordre.

Résolution

La résolution est limitée car leréseau a une dimension finie (convolution par fonction porte d'un signaléchantillonné, donc problème de recouvrement spectral). Elle est donnée par

.

Applications

Principe de fonctionnement d'un monochromateur : le réseau permet de séparerles couleurs.

Les applicationssont diverses en spectroscopie carl'angle de sortie dépend de la longueur d'onde étudiée. Ainsi, les réseauxsont utilisés dans les spectroscopes detype Littrow ou dans lemontage de Czerny-Turner (voir l'article Analysedispersive en longueur d'onde).

Les réseauxpeuvent être utilisés comme monochromateurs : en choisissant unedirection, on peut sélectionner une seule longueur d'onde. Il est donc possiblede les utiliser dans les lasers accordables.

De plus,lorsqu'un réseau se déplace d'une longueur x, il introduit un déphasage de , donc grâce aux interférences entre les modes 1 et -1 onpeut remonter au déplacement du réseau. On peut donc ainsi réaliser un capteurde déplacement de haute résolution.

Les réseaux sontégalement très utiles dans l'enseignement car ils permettent de comprendre lespropriétés de la lumière ; ils sont souvent utilisés en travaux pratiques.

Il existeégalement des réseaux bidimensionnels, composé de lignes non parallèlles ou depoints. À la base, l'holographieconsiste à créer un réseau bidimensionnel en impressionnant une pelliculephotographique. La restitution de l'image est en fait la figure de diffractionsur ce réseau. Un autre exemple est la diffraction de la lumière sur un disque compact, les bit étantautant de points.

Il existe enfindes réseaux tridimensionnels : les cristaux. C'est la base de la diffraction derayons X, de la figure de diffraction en microscopieélectronique en transmission, des pseudo-lignes de Kikuchi utiliséeen EBSD (microscopieélectronique à balayage), et de la diffraction deneutrons. Voir les articles Loi de Bragg et Théoriede la diffraction sur un cristal.

Interaction rayons X-matière

Les rayons X,comme toutes les ondesélectromagnétiques, provoquent un déplacement du nuage électroniquepar rapport au noyau dans lesatomes ; ces oscillations induitesprovoquent une réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion Rayleigh.

Voir aussil'article détaillé Interactionrayonnement-matière.

La longueurd'onde des rayons X étant de l'ordre de grandeur des distances interatomiques (quelques angström), les interférences des rayons diffusés vont êtrealternativement constructives ou destructives. Selon la direction de l'espace,on va donc avoir un flux important de photons X, ou au contraire trèsfaible ; ces variations selon les directions forment le phénomène de diffractionX.

Ce phénomène aété découvert par Max von Laue (Prix Nobelen 1914), et longuement étudié par sir William Henry Bragget son fils sir William LawrenceBragg (prix Nobel commun en 1915),

Les directionsdans lesquelles les interférences sont constructives, appelées « pics dediffraction », peuvent être déterminées très simplement par la formulesuivante, dite loi de Bragg :

avec

  • d = distance inter réticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ;
  • θ = demi-angle de déviation (moitié de l'angle entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ;
  • n = ordre de réflexion (nombre entier) ;
  • λ = longueur d'onde des rayons X.

Comme les planscristallographiques peuvent être repérés par les indices de Miller {hkl}, on peut indexerles pics de diffraction selon ces indices.

Par : zzunogob
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